Нужна помощь зала

[chuka_lis]

 

По тригинометрии молодежи требуется доказать что:
 sec²a +  cosec²a= sec²a x cosec²a

 я так понимаю что это же общий случай, а  не когда секанс равен косекансу и равен 2.
Ну  и ничего  не выходит у нас.
Еще 2 примера из учебника, над которым все по очереди ломаем головы,  но тоже никак не можем доказать, что:

1/ (1+cos a)= cosec²a - cosec a x cotan a

 и

sec a  / (sec a - tan a) = sec²a + sec a x tan a

 Формулы для преобразований студенты начали  осваивать на прошлой неделе, самые базовые, и как бы предполагается только ими оперировать.
Эти задания, конечно преобразуются, иногда в нечто вполне изящное, но никак не до того, что требуется в учебнике.
Буду признательна подсказкам по нюансам преобразовний, от тех, кто еще помнит математику и может решить такие примеры.
 А то на этой неделе уже будет тест, а мы "хромаем".
Молодежь конечно справляется преимущественно сама, но иногда бывают вопросы и ко мне, а тут я вот  не могу пояснить, как так получается.

Comments

[gxachaturov]

Ничего сказать конкретно не могу (лень ковыряться, да и старый уже для таких формул). Могу сообщить очень полезное общее правило, которому нас в колмогоровском интернате научил Игорь Константинович Сурин: Все тригонометрические формулы доказывается с помощью выражения их игроков через тангенс половинного угла.

[chuka_lis]

ок, спасибо за подсказку!

[timelets]

Надо представить sec and cosec в виде дробей 1/cos и 1/sin и сложить их квадраты, по обычным правилам. в числителе получится сумма квадратов, которая равна 1 (sin² + cos² =1), а в знаменателе произведение квадратов, которое равно произведению sec²a x cosec²a.

[chuka_lis]

спасибо!

[chuka_lis]

вот что второй рас можно флипнуть наоборот, переведя 1/cos и 1/sin в секас и косекас- не додумалась)- а Вы сразу вычислили) классно)

[timelets]

На здоровье. Вот когда интегралы пойдут, станет горазд интереснее :)

[chuka_lis]

да уж)
Вы правы, придется освежать знания и по интегралам..)

[juan_gandhi]

a) 1/sin^2(x) + 1/cos^2(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))/(sin^2(x) * cos^2(x)) = 1/(sin^2(x)*cos^2(x))

b) умножить обе части дроби на (1-cos a)

c) Ну просто тоже выразить через синус и косинус.

Чо гадать-то. Подставить, и применить тригонометрические формулы.

[chuka_lis]

спасибо)

[chuka_lis]

гадать, конечно, особо не надо. нужно только свободно оперировать формулами, чему и учимся.
вот второй вариант- надо было догадаться, что нужно умножать на (1-cos a), а не на что-либо другое.
здорово Вы придумали.

[juan_gandhi]

Ну, может быть, у меня, как у математика по образованию, это просто в голове сидит. Ну как разница между до и до-диез у музыканта в голове (я постепенно осваиваю всю эту прекрасную... не знаю даже что, науку?)

[chuka_lis]

наверное, математическая интуиция!)

3d identity

[math_mommy]

На них нужно руку набить. Там несколько приемов, которые нужно запомнить и отработать.
(Should be: Transforming right hand side.)
Second and 3d would be easier if to start from the left hand side. Then there will be cancelling and not an introduction of auxiliary multiplier, and it is easier to see. Just traverse my calculations from end to the beginning.

Re: 3d identity

[chuka_lis]

о!
спасибо!
Это чуть другой способ.
Как раз сейчас и получается "набивать руку".
чтоб свободно себя чувствовать в манипуляции формулами- нужна только практика.. а это время. его до теста -маловато.
но ниче, как-то справится.

Re: 3d identity

[math_mommy]

Пожалуйста!
Прием с тангенсом половинного угла - это для уровня мастера наук в американских универах, ну или на 5+ для бакалавра со специализаций в математике. Сама замена требует серьезных навыков с манипуляцией математическими символами.
Я преподавала тригонометрию на уровне бакалавра. Если это то, что вам нужно, то вот мои советы:
- transform everything into cos and sin
- then you need only the basic identity sin^2 + cos^2 =1 and its derivatives
cos^2 x = 1 - sin^2 x = (1- sin x)(1+ sin x)
sin^2 x = 1 - cos^2 x = (1- cos x)(1+ cos x)
- start from an equation side which looks more complicated, and try to simplify. If they both look the same, pick up one of them and if it does not work, try another.

Re: 3d identity

[chuka_lis]

Спасибо за очень дельные советы. они все уместные. я обязательно передам их.
Это здорово, что вы отозвались быстро и проявили участие.
На счет тангенса половинного угла- я думаю рановато, тк такого еще "не проходили", и все же нужно решать примерно на том уровне, который дает преподаватель.
Им и так довольно резво втюхивают тригонометрию, я б сказала галопом по Европам. Я вижу что ребенок не успевает "переварить" не смотря на ежедневные занятия (на мой взгляд, просто нужно время и чуть другой темп).

Re: 3d identity

[math_mommy]

Конечно, при нехватке времени изучать какие-то особенные методы непрактично.